\chapter{结构形成}



在上一章中，我们推导了所有物质和度规的扰动演化方程。
原则上，我们现在可以求解这些方程。
不同物质间复杂的相互作用\textnote{见图5.1}意味着我们得到了大量相互耦合的微分方程。
这些方程组很容易用数值方法求解，通常也是这样做的。
然而，我们在本章中的目标是对解中的基本定性特征获取一些解析认识。


\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.38\linewidth]{picture/0092.svg}
	\caption{宇宙中不同物质形式间的相互作用。}
\end{figure}

\section{引力不稳定性}


\subsection{Jeans不稳定性}



原初密度扰动的增长是由引力和压强之间的竞争决定的。
引力会把物质吸引到空间中过密的区域。
然而，粒子的随机热运动在过密度区域也会增加。
如果这个压强很大，那么它会把物质从浓密区域中推出去，从而抑制不均匀性的增长。


考虑某种流体中的不均匀性，其状态方程为$w \equiv \bar{P} / \bar{\rho}$，声速为$c_s^2 \equiv \delta P / \delta \rho$。
对于绝热扰动，我们有$c_s^2 \approx w$。
则连续性方程（4.5.120）和欧拉方程（4.5.121）为
	\begin{align}
		\delta^{\prime} & =-(1+w)\left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}-3 \Phi^{\prime}\right) \\
		\boldsymbol{v}^{\prime} & =-\mathcal{H}(1-3 w) \boldsymbol{v}-\frac{c_s^2}{1+w} \boldsymbol{\nabla} \delta-\boldsymbol{\nabla} \Phi
	\end{align}
在亚视界尺度上，$\Phi$的时间导数是次要的，可以被丢掉。\footnote{
这实际上是一个微妙的点。
在辐射时代，如果是在哈勃时间上取平均值，那么$\Phi$的时间导数是次要的。我们这里隐含地假设了这样的平均值。
}
结合（5.1.1）的时间导数和（5.1.2）的散度，我们可以发现
\begin{equation}
	{
	\arraycolsep=0pt 
	\begin{array}{ccccc}
		\delta^{\prime \prime}+(1-3 w) \mathcal{H} \delta^{\prime} & -c_s^2 \nabla^2 \delta =& (1+w) &\nabla^2 \Phi &\\
		 \qquad \uparrow &  \uparrow && \uparrow &\rule{.2cm}{0pt}\\
		\text {  \qquad friction } & \text { pressure } &\multicolumn{3}{r}{\text{gravity}}
	\end{array}}
\end{equation}
使用泊松方程（4.5.116）代替$\nabla^2 \Phi$，变为
\begin{equation}
	\delta^{\prime \prime}+(1-3 w) \mathcal{H} \delta^{\prime}+c_s^2\left(k^2-k_{\mathrm{J}}^2\right) \delta=0,
\end{equation}
其中，我们定义了Jeans尺度，
\begin{equation}
	k_{\mathrm{J}}^2 \equiv(1+w) \frac{4 \pi G a^2 \bar{\rho}}{c_s^2}
\end{equation}
对于小尺度\textnote{即大波数}，$k>k_{\mathrm{J}}$，压强占主导且涨落振荡；
而对于大尺度，$k<k_{\mathrm{J}}$，重力占主导且涨落增加。
哈勃摩擦有两种影响：在Jeans长度以下，涨落振荡的幅度逐渐减小；在Jeans长度以上，涨落会经历幂律增长，而不是静态空间中引力不稳定的指数增长特性。



在$\S 5.1 .2$中，我们将研究暗物质涨落的成团。
由于CDM的声速很小，所以涨落在很大范围内有效地增长。
在$ \S 5.2.1 $中，我们将考虑原初光子气体中涨落的演变。
现在，压强扮演了一个重要的角色：涨落只会在非常大的尺度上增长，否则就是振荡。
这些声学振荡在微波背景和星系分布中都可以观察到。



\subsection{暗物质成团}


在本节中，我们感兴趣的是\textnote{暗}物质涨落从早期\textnote{辐射时代}到晚期\textnote{暗能量开始占据主导地位}的演变。



\begin{itemize}
\item 
在早期，宇宙由辐射\textnote{$r$}和无压强的物质\textnote{$m$}共同主导。
现在，我们忽略重子。
共形哈勃参数为
\begin{equation}
	\mathcal{H}^2=\frac{\mathcal{H}_0^2 \Omega_m^2}{\Omega_r}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\right), \quad y \equiv \frac{a}{a_{\mathrm{eq}}} .
\end{equation}
我们希望确定从辐射时代到物质时代，物质涨落在亚视界尺度上的演化。
在$\S 4.3 .1$中，我们已证明物质密度差异满足
\begin{equation}
	\delta_m^{\prime \prime}+\mathcal{H} \delta_m^{\prime}=\nabla^2 \Phi+3\left(\Phi^{\prime \prime}+\mathcal{H} \Phi^{\prime}\right) .
\end{equation}
通常，势能$\Phi$来源于总密度涨落。
然而，辐射密度中的扰动在小尺度上快速振荡\textnote{见$ \S 5.2 $}。
因此，时间平均的引力势仅来源于物质涨落，辐射中的涨落可以忽略\textnote{进一步讨论见Weinberg，astro ph/0207375}。
在如此假设的时间平均值上，我们在亚视界尺度上\textnote{$ k \gg \mathcal{H} $}有$\nabla^2 \Phi \gg\left\{\Phi^{\prime \prime}, \mathcal{H} \Phi^{\prime}\right\}$。
通过这样的简化，方程（5.1.7）变为
\begin{equation}
	\delta_m^{\prime \prime}+\mathcal{H} \delta_m^{\prime}-4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m \delta_m \approx 0,
\end{equation}
其中$\mathcal{H}$由（5.1.6）给出。
在问题集3上，你会证明这个方程可以写成Mészáros方程
\begin{equation}
	\frac{d^2 \delta_m}{d y^2}+\frac{2+3 y}{2 y(1+y)} \frac{d \delta_m}{d y}-\frac{3}{2 y(1+y)} \delta_m=0 .
\end{equation}
你还将被要求证明这个方程的解可采取如下形式
\begin{equation}
	\delta_m \propto\left\{\begin{array}{l}
		2+3 y \\
		(2+3 y) \ln \left(\frac{\sqrt{1+y}+1}{\sqrt{1+y}-1}\right)-6 \sqrt{1+y}
	\end{array}\right.
\end{equation}
在极限$y \ll 1$\textnote{RD}下，增长模式解为$\delta_m \propto \ln y \propto \ln a$，即物质涨落在辐射时代仅以对数方式增长。
暗物质不均匀性的显著增长只发生在宇宙变为物质主导的时候。
实际上，在极限$y \gg 1$\textnote{MD}下，增长模式解为$\delta_m \propto y \propto a$。



\item 
在晚期，宇宙是无压强的物质$(m)$和暗能量$(\Lambda)$共同主导。
由于暗能量没有涨落，方程（5.1.8）仍然适用
\begin{equation}
	\delta_m^{\prime \prime}+\mathcal{H} \delta_m^{\prime}-4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m \delta_m \approx 0,
\end{equation}
但是$\mathcal{H}$跟之前并不相同。
在$\Lambda$主导的条件下，我们有$\mathcal{H}^2=\left(-\eta^{-1}\right)^2 \gg 4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m$。
丢掉$(5.1 .11)$中的最后一项，我们得到
\begin{equation}
	\delta_m^{\prime \prime}-\frac{1}{\eta} \delta_m^{\prime} \approx 0,
\end{equation}
这具有如下解
\begin{equation}
	\delta_m \propto\left\{\begin{array}{l}
		\text { const. } \\
		\eta^2 \propto a^{-2} .
	\end{array}\right.
\end{equation}
我们看到，一旦暗能量占据主导地位，物质涨落就会停止增长。




\end{itemize}
\begin{omnipotent}{共动密度差异}
---要获得在所有尺度上都有效的解\textnote{不仅仅是在亚视界极限下}，一个优雅的方法是使用共动密度差异$\Delta_m$。
这有个很好的特性，即对时间平均引力势的泊松方程可采用如下简单形式
\begin{equation}
	\nabla^2 \Phi=4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m \Delta_m .
\end{equation}
因此，$\Delta_m$的解可以直接从$\Phi$的解中获得\textnote{参见$ \S 4.3.3 $}。
让我们看看这是如何重现我们之前的结果的：
\begin{itemize}
\item 
在物质时代，我们有$\Phi \propto\left\{a^0, a^{-5 / 2}\right\}$和$a^2 \rho_m \propto a^{-1}$，因此
\begin{equation}
	\Delta_m=\frac{\nabla^2 \Phi}{4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m} \propto\left\{\begin{array}{l}
		a \\
		a^{-3 / 2}
	\end{array} .\right.
\end{equation}
请注意，$\Delta_m$的增长模式在视界外的增长为$a$，而$\delta_m$是恒定的。
在视界内部，$\delta_m \approx \Delta_m$，两种规范中的密度差异都是随$a$演化。

\item 
暗能量项献了压强，但没有压强的涨落。
因此，爱因斯坦方程（4.5.118）为
\begin{equation}
	\Phi^{\prime \prime}+3 \mathcal{H} \Phi^{\prime}+\left(2 \mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2\right) \Phi=0 .
\end{equation}
为了得到$\Delta_m$的演化方程，我们使用了一个巧妙的技巧。
由于$a^2 \bar{\rho}_m \propto a^{-1}$，我们有$\Phi \propto \Delta_m / a$。
因此，方程（5.1.16）意味着
\begin{equation}
	\partial_\eta^2\left(\Delta_m / a\right)+3 \mathcal{H} \partial_\eta\left(\Delta_m / a\right)+\left(2 \mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2\right)\left(\Delta_m / a\right)=0,
\end{equation}
重新排列为
\begin{equation}
	\Delta_m^{\prime \prime}+\mathcal{H} \Delta_m^{\prime}+\left(\mathcal{H}^{\prime}-\mathcal{H}^2\right) \Delta_m=0
\end{equation}
使用$\mathcal{H}^{\prime}-\mathcal{H}^2=-4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m$，这将变为
\begin{equation}
	\Delta_m^{\prime \prime}+\mathcal{H} \Delta_m^{\prime}-4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m \Delta_m=0 .
\end{equation}
该方程类似于（5.1.11），但此时在所有的尺度上都是有效的。
在$\Lambda$占主导情况下的解是
\begin{equation}
	\Delta_m \propto\left\{\begin{array}{l}
		\text { const. } \\
		\eta^2 \propto a^{-2}
	\end{array} .\right.
\end{equation}
这与（5.1.13）也是相同，但现在是在所有尺度上都有效。

\end{itemize}
\end{omnipotent}



\subsection{物质功率谱}




我们上面讨论的效应导致了原初扰动的后处理。
这种演化通常被编码在所谓的转移函数中。
例如，红移$z$处物质扰动的值与原始扰动$\mathcal{R}_k$的关系为：
\begin{equation}
	\Delta_{m, k}(z)=T(k, z) \mathcal{R}_k .
\end{equation}
转移函数$T(k, z)$仅取决于$k$的大小，而不取决于$\boldsymbol{k}$的方向，
因为扰动是在均匀的和各向同性的背景上进行演化的。
傅里叶模式（5.1.21）的平方定义为物质功率谱
\begin{equation}
	P_{\Delta}(k, z) \equiv\left|\Delta_{m, k}(z)\right|^2=T^2(k, z)\left|\mathcal{R}_k\right|^2 .
\end{equation}
图$5.2$显示了在标度不变的初始条件下\textnote{$k^3\left|\mathcal{R}_k\right|^2=\text{常量}$}预测的物质功率谱\textnote{见第6章}。
功率谱的渐近尺度为
\begin{equation}
	P_{\Delta}(k)= \begin{cases}k & k<k_{\mathrm{eq}} \\ k^{-3} & k>k_{\mathrm{eq}}\end{cases}
\end{equation}
通过分析Poisson方程，$\nabla^2 \Phi=4 \pi G a^2 \bar{\rho}_m \Delta_m$，这意味着$P_{\Delta}(k) \propto k^4 P_{\Phi}(k)$，上面的尺度就变得很容易理解了。
因此，$\Delta$的谱和$\Phi$的时间演化谱直接相关：
\begin{itemize}
\item 
具有$k<k_{\mathrm{eq}}$的模式，仅在物质时代才进入视界，此时振幅保持不变的。
对于这些模式，引力势没有经历任何演化，其功率谱采用标度不变的形式$P_{\Phi}(k) \propto k^{-3}$。
因此，这些标度的物质功率谱为
\begin{equation}
	P_{\Delta}(k) \propto k^4 \times k^{-3}=k .
\end{equation}
\item 
另一方面，对具有$k>k_{\text {eq }}$的模式，在辐射时代就已经进入视界。
正如我们在$\S 4.3 .3$中所看到的，对于这些模式，重力势随$a^{-2} \propto \eta^{-2}$衰减。
$\Phi$受抑制的量由这此模式在视界内花费的时间决定，该时间遵循视界穿越条件$k \eta=1$。
具有较大$k$的模式较早进入视界，受到抑制也更大，即受到$\left(k / k_{\mathrm{eq}}\right)^{-2}$因子的抑制，该因子来自由势能受到的$\left(\eta / \eta_{\mathrm{eq}}\right)^{-2}$抑制。
因此，$k>k_{\text {eq }}$的物质功率谱为
\begin{equation}
	P_{\Delta}(k) \propto k^4 \times k^{-3} \times\left(k^{-2}\right)^2=k^{-3} .
\end{equation}



\end{itemize}
最后，请注意，$P_{\Delta}(k, z)$在物质时代的演化与$a^2=(1+z)^{-2}$成正比，参见方程（5.1.15）。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.57\linewidth]{picture/0096.svg}
	\caption{在$z=0$处的物质功率谱$P_{\Delta}(k)$，来自线性理论\textnote{实线}和非线性修正\textnote{虚线}。
		在大尺度上，$P_{\Delta}(k)$的增长为$k$。
		功率谱在$k_{\mathrm{eq}} \sim 0.01 \mathrm{Mpc}^{-1}$左右翻转，这对应于物质--辐射相等时的视界大小。
		超过峰值后，功率的下降为$k^{-3}$。
		谱中的小振幅重子声学振荡是可见的。}
\end{figure}







\section{声学振荡}


\subsection{辐射涨落}




本节中，我们希望确定辐射密度中扰动的演变。
我们将首先忽略光子和重子间的耦合。
在$\S 4.3 .1$中，我们已经证明辐射密度差异满足
\begin{equation}
	\delta_r^{\prime \prime}-\frac{1}{3} \nabla^2 \delta_r=\frac{4}{3} \nabla^2 \Phi+4 \Phi^{\prime \prime} \quad\left\{\begin{aligned}
		\delta_r^{\prime} & =-\frac{4}{3} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}_r+4 \Phi^{\prime} \\
		\boldsymbol{v}_r^{\prime} & =-\frac{1}{4} \boldsymbol{\nabla} \delta_r-\nabla \Phi
	\end{aligned}\right.
\end{equation}
为了以后的方便，我们还要回顾一下$\delta_r$的运动方程是如何从连续性方程和欧拉方程中得到的。
让我们讨论亚视界尺度上的解：
\begin{itemize}
\item 
在辐射时代，势能衰减，$\Phi \propto a^{-2}$，因此
\begin{equation}
	\delta_r^{\prime \prime}-\frac{1}{3} \nabla^2 \delta_r \approx 0 .
\end{equation}
这表明辐射密度的涨落在$\delta_r=0$附近振荡，且具有恒定的振幅和频率$\omega=\frac{1}{\sqrt{3}} k$。
将解与超视界的初始条件相匹配\textnote{参见$\S 4.4$}，我们发现
\begin{equation}
	\delta_r=4 \mathcal{R}(0) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}} k \eta\right) .
\end{equation}

\item 
在物质时代，$\Phi=\text{常数}$，因此
\begin{equation}
	\delta_r^{\prime \prime}-\frac{1}{3} \nabla^2 \delta_r=\frac{4}{3} \nabla^2 \Phi=\text { const. }
\end{equation}
这是具有恒定驱动力的谐振子的运动方程。
因此，辐射密度的亚视界涨落，以恒定的振幅围绕一个移动了的平衡点$\delta_r=-4 \Phi_0(k)$振荡，其中$\Phi_0(k)$是物质时代引力势的$k$依赖振幅；参见图4.1。

\end{itemize}
\begin{omnipotent}{共动密度差异}
--- 在辐射时代，辐射密度的扰动占主导地位\textnote{对于绝热初始条件}。
已经给出了辐射时代$\Phi$的解\textnote{参见$  \S 4.3.3 $}，因此，我们立即就能通过泊松方程获得辐射密度差异\textnote{$\delta_r$或$\Delta_r$}的解
	\begin{align}
		\delta_r & =-\frac{2}{3}(k \eta)^2 \Phi-2 \eta \Phi^{\prime}-2 \Phi, \\
		\Delta_r & =-\frac{2}{3}(k \eta)^2 \Phi
	\end{align}
我们看到，虽然$\delta_r$在视界外是常数，但$\Delta_r$随$\eta^2 \propto a^2$增长。
在视界内部，方程（4.3.98）意味着
\begin{equation}
	\delta_r \approx \Delta_r=-\frac{2}{3}(k \eta)^2 \Phi=4 \mathcal{R}(0) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}} k \eta\right),
\end{equation}
这与我们先前的结果（5.2.28）一致。
\end{omnipotent}






\subsection{原初声波}



在重结合前，光子与重子紧密耦合\textnote{主要是通过跟电子的散射}。\footnote{本节中这样的处理方式有些简略。更详细的讨论可以在D.Baumann的《Advanced Cosmology》中找到。}
现在仅有光子和重子组合的动量密度守恒
\begin{equation}
	q \equiv q_\gamma+q_b=\frac{4}{3}(1+R) \bar{\rho}_\gamma v_\gamma,
\end{equation}
其中我们引入了
\begin{equation}
	R \equiv \frac{3}{4} \frac{\bar{\rho}_b}{\bar{\rho}_\gamma}=0.6\left(\frac{\Omega_b h^2}{0.02}\right)\left(\frac{a}{10^{-3}}\right) .
\end{equation}
（5.2.26）中的欧拉方程修改为
\begin{equation}
	{\arraycolsep=0pt
	\begin{array}{rcc}
		\left[(1+R) \boldsymbol{v}_r\right]^{\prime}&=&-\frac{1}{4} \boldsymbol{\nabla} \delta_r  -(1+R) \nabla \Phi \\
		\uparrow   \quad \qquad  & & \qquad  \quad \uparrow \\
		\text { inertial mass} && \text {  \quad gravitational mass} 
	\end{array}
}
\end{equation}
对欧拉方程的修正很容易理解：跟重子的耦合给光子--重子流体增加了额外的“重量”。
这使得动量密度和引力这两项都增加到$(1+R)$倍。
由于重子对压强没有贡献，所以压力项没有获得$(1+R)$因子。



另一方面，（5.2.26）中的连续性方程没有得到修正，因为与重子的耦合既不产生光子，
也不破坏光子\textnote{汤姆逊散射保持光子数不变，$e+\gamma \leftrightarrow e+\gamma$}。
与之前一样，结合连续性方程和欧拉方程，我们发现
\begin{equation}
	{ \arraycolsep=1pt
	\begin{array}{rcl}
	\delta_\gamma^{\prime \prime}+\frac{\mathcal{H} R}{1+R} \delta_\gamma^{\prime}+c_s^2 k^2 \delta_\gamma&=&-\frac{4}{3} k^2 \Phi+4 \Phi^{\prime \prime}+\frac{4 R^{\prime}}{1+R} \Phi^{\prime}\\
	\uparrow  \quad && \qquad \ \uparrow\\
	\text{pressure}&& \quad \text{gravity}
	\end{array}
}
\end{equation}
其中，我们已经将光子--重子流体的声速定义为
\begin{equation}
	c_s^2 \equiv \frac{1}{3(1+R)} .
\end{equation}
方程（5.2.36）是描述宇宙微波背景中各向异性的主方程。
方程的数值解如图5.3所示。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.68\linewidth]{picture/0098.svg}
	\caption{重力势$\Psi$和光子密度差异$\delta_\gamma$的数值解。
		振荡幅度首先增加\textnote{因为引力势在视界穿越后衰减}，然后衰减\textnote{当光子各向异性应力$\Pi_\gamma$变得显著时}。}
\end{figure}






\section{CMB各向异性}



\subsection{太阳系的运动}


观察CMB时，首先看到的是太阳系相对于微波背景静止参考系的运动\textnote{参见图5.4}。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.23\linewidth]{picture/0099.svg}
	\caption{太阳系相对于CMB静止框架的运动在观测到的CMB温度中产生偶极模式。}
\end{figure}
由于多普勒效应，观测到的来自方向\footnote{由于光子是向我们飞来，光子的传播方向$\hat{\boldsymbol{p}}$与视线方向相反，即$\hat{\boldsymbol{p}}=-\hat{\boldsymbol{n}}$。}
$\hat{\boldsymbol{n}}$的光子其动量为
\begin{equation}
	p_0(\hat{\boldsymbol{n}})=\frac{p}{\gamma(1-\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v})} \approx p(1+\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v}),
\end{equation}
其中，$\boldsymbol{v}$是我们相对于CMB静止参考系的速度，$p$是CMB静止参考系中光子的动量，$\gamma=\left(1-v^2\right)^{-1 / 2}$是洛伦兹因子。
我们还展示了$|\boldsymbol{v}| \ll 1$的低阶近似。
正如预期的那样，如果我们朝着光子运动\textnote{$\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v}=v$}，动量会更大，而如果我们远离光子运动\textnote{$ \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v}=-v $}，动量会更小。
由于CMB是一个黑体，我们可以将观测到的光子动量的变化与观测到的温度的变化联系起来
\begin{equation}
	\frac{\delta T(\hat{\boldsymbol{n}})}{T} \equiv \frac{T_0(\hat{\boldsymbol{n}})-T}{T}=\frac{p_0(\hat{\boldsymbol{n}})-p}{p}=\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v} .
\end{equation}
将这种偶极各向异性跟观测数据相拟合，我们发现太阳系相对于CMB的速度为
\begin{equation}
	v=368 \mathrm{~km} / \mathrm{s} .
\end{equation}
减去偶极子后，剩下的就是原初各向异性。





\subsection{光子测地线扰动}


我们首先讨论扰动对光子动量演化的影响。
为了方便起见，我们回忆一下牛顿规范中的扰动度规
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[(1+2 \Psi) \mathrm{d} \eta^2-(1-2 \Phi) \delta_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j\right] .
\end{equation}
目前，我们将考虑$\Psi \neq \Phi$的可能性。
在第1章中，我们证明了，在一个均匀的宇宙中，\textnote{物理的}动量只是随$p \propto 1 / a$红移，即
\begin{equation}
	\frac{1}{p} \frac{d p}{d \eta}=-\frac{1}{a} \frac{d a}{d \eta} .
\end{equation}
在非均匀宇宙中，光子的演化将受到额外的引力修正。
在下一个插入框中，我将推导出如下方程式
\begin{equation}
	\frac{1}{p} \frac{d p}{d \eta}=-\frac{1}{a} \frac{d a}{d \eta}-\hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}+\frac{\partial \Phi}{\partial \eta}
\end{equation}
其中，$\hat{p}^i$是光子3动量方向上的单位向量\textnote{即$\delta_{i j} \hat{p}^i \hat{p}^j=1$}。
在（5.3.43）中的非均匀项，描述了光子在移出\textnote{进入}势阱时是如何偏转和损失\textnote{获得}能量的。\footnote{在我们的约定中，过密度的$\Phi $对应为$  \Psi<0$\textnote{要了解这一点，请考虑泊松方程}。
}
\begin{derivation}
---我们将从光子的测地线方程中导出方程（5.3.43），
\begin{equation}
	\frac{d P^0}{d \lambda}=-\Gamma_{\alpha \beta}^0 P^\alpha P^\beta
\end{equation}
其中$P^\mu=d X^\mu / d \lambda$是光子的四动量。
我们需要度规扰动下的四动量分量表达式：
\begin{itemize}
\item 
我们首先考虑$P^0$的分量。
由于光子是无质量的，我们有
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		P^2=g_{\mu \nu} P^\mu P^\nu & =0 \\
		& =a^2(1+2 \Psi)\left(P^0\right)^2-p^2,
	\end{aligned}
\end{equation}
其中，我们代入了度规（5.3.41）和已定义的$p^2 \equiv-g_{i j} P^i P^j$。
求解$P^0$的方程（5.3.45），得到
\begin{equation}
	P^0=\frac{p}{a}(1-\Psi)
\end{equation}


\item 
4动量的空间分量采取如下形式
\begin{equation}
	P^i \equiv \alpha \hat{p}^i .
\end{equation}
为了确定比例常数$\alpha$，我们使用
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		p^2=-g_{i j} P^i P^j & =a^2(1-2 \Phi) \delta_{i j} \hat{p}^i \hat{p}^j \alpha^2 \\
		& =a^2(1-2 \Phi) \alpha^2,
	\end{aligned}
\end{equation}
其中最后一个等式成立，是由于方向矢量是单位矢量。
求解$\alpha$的方程（5.3.48），我们得到$\alpha=p(1+\Phi) / a$，或者
\begin{equation}
	P^i=\frac{p \hat{p}^i}{a}(1+\Phi) .
\end{equation}



\end{itemize}
让我们把这些结果代入到测地线方程（5.3.44），
\begin{equation}
	\frac{p}{a}(1-\Psi) \frac{d}{d \eta}\left[\frac{p}{a}(1-\Psi)\right]=-\Gamma_{\alpha \beta}^0 P^\alpha P^\beta .
\end{equation}
此处，我们使用了一个标准的技巧，将关于$\lambda$的导数重写为关于时间的导数乘以$d \eta / d \lambda=P^0$。我们展开时间导数，得到
\begin{equation}
	\frac{d p}{d \eta}(1-\Psi)=\mathcal{H} p(1-\Psi)+p \frac{d \Psi}{d \eta}-\Gamma_{\alpha \beta}^0 P^\alpha P^\beta \frac{a^2}{p}(1+\Psi) .
\end{equation}
接下来，我们将两边都乘以$(1+\Psi) / p$，并把$\Psi$的所有二次项都扔掉
\begin{equation}
	\frac{1}{p} \frac{d p}{d \eta}=\mathcal{H}+\frac{d \Psi}{d \eta}-\Gamma_{\alpha \beta}^0 P^\alpha P^\beta \frac{a^2}{p^2}(1+2 \Psi) .
\end{equation}
让我们依次考虑右边各项：
\begin{itemize}
\item 
展开$\Psi$对时间的全导数，我们得到
\begin{equation}
	\frac{d \Psi}{d \eta}=\frac{\partial \Psi}{\partial \eta}+\frac{d x^i}{d \eta} \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}=\frac{\partial \Psi}{\partial \eta}+\hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i} .
\end{equation}
其中我们使用了
\begin{equation}
	\frac{d x^i}{d \eta}=\frac{d x^i}{d \lambda} \frac{d \lambda}{d \eta}=\frac{P^i}{P^0}=\hat{p}^i(1+\Psi+\Phi)=\hat{p}^i+\mathcal{O}(1) .
\end{equation}




\item 
为了计算最后一项，我们需要一些扰动的克氏符。
相应的部分是
\begin{equation}
	\Gamma_{00}^0=\mathcal{H}+\Psi^{\prime}, \quad \Gamma_{i 0}^0=\partial_i \Psi, \quad \Gamma_{i j}^0=\mathcal{H} \delta_{i j}-\left[\Phi^{\prime}+2 \mathcal{H}(\Phi+\Psi)\right] \delta_{i j} .
\end{equation}
经过一点代数运算，我们得到
\begin{equation}
	-\Gamma_{\alpha \beta}^0 \frac{P^\alpha P^\beta}{p^2}(1+2 \Psi)=-2 \mathcal{H}+\frac{\partial \Phi}{\partial \eta}-\frac{\partial \Psi}{\partial \eta}-2 \hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i} .
\end{equation}





\end{itemize}
将方程（5.3.53）和（5.3.56）代入方程（5.3.52），我们发现
\begin{equation}
	\frac{1}{p} \frac{d p}{d \eta}=-\mathcal{H}-\hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}+\frac{\partial \Phi}{\partial \eta},
\end{equation}
即证实了方程（5.3.43）。

\end{derivation}




考虑等式（5.3.43）中的梯度项。
让我们加减$\partial \Psi / \partial \eta$，
\begin{equation}
	\hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}=\left(\frac{\partial \Psi}{\partial \eta}+\hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}\right)-\frac{\partial \Psi}{\partial \eta} .
\end{equation}
通过等式（5.3.53），括号中的项简单地合并成$\Psi$对时间的全导数。
因此，我们有
\begin{equation}
	\hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}=\frac{d \Psi}{d \eta}-\frac{\partial \Psi}{\partial \eta},
\end{equation}
于是方程（5.3.43）变为
\begin{equation}
	\frac{d}{d \eta} \ln (a p)=-\frac{d \Psi}{d \eta}+\frac{\partial(\Psi+\Phi)}{\partial \eta}
\end{equation}





%%%%
%%%%
\subsection{视线解}


在第3章中，我们看到重结合发生在很短的时间内，$\Delta z \sim 10$。
为了简化问题，我们将使用瞬时重结合这种理想化的近似。
CMB光子在固定的时刻$\eta_*=\eta_{\text {rec }}$发射。
这一时刻通常被称为最后散射。
然后，可以从发射时间$\eta_*$到观测时间$\eta_0$\textnote{即今天}对方程（5.3.60）进行积分，
\begin{equation}
	\ln (a p)_0=\ln (a p)_*+\left(\Psi_*-\Psi_0\right)+\int_{\eta_*}^{\eta_0} \mathrm{~d} \eta \frac{\partial}{\partial \eta}(\Psi+\Phi) .
\end{equation}
为了将此与温度的各向异性联系起来，我们注意到
\begin{equation}
	a p \propto a \bar{T}\left(1+\frac{\delta T}{\bar{T}}\right)
\end{equation}
其中$\bar{T}(\eta)$是平均温度。
对（5.3.61）中的对数函数进行泰勒展开，直到第一阶$\delta T / \bar{T}$，并记住$a_0 \bar{T}_0=a_* \bar{T}_*$，我们有
\begin{equation}
	\left.\frac{\delta T}{\bar{T}}\right|_0=\left.\frac{\delta T}{\bar{T}}\right|_*+\left(\Psi_*-\Psi_0\right)+\int_{\eta_*}^{\eta_0} \mathrm{~d} \eta \frac{\partial}{\partial \eta}(\Psi+\Phi) .
\end{equation}
$\Psi_0$项只影响单极子扰动，这是不可观测的\footnote{当然，总单极子是可观测的，但其扰动取决于背景宇宙上点的识别，即与规范相关。}，
因此通常从方程中删去。
最后散射时的分数温度扰动可以用光子的密度差异来表示，\footnote{回想一下，对于温度为$T$的黑体辐射$\rho_\gamma \propto T^4$。}
\begin{equation}
	\left.\frac{\delta T}{\bar{T}}\right|_*=\frac{1}{4}\left(\delta_\gamma\right)_* .
\end{equation}
因此方程式（5.3.63）写作
\begin{equation}
	\left.\frac{\delta T}{\bar{T}}\right|_0=\left(\frac{1}{4} \delta_\gamma+\Psi\right)_*+\int_{\eta_*}^{\eta_0} \mathrm{~d} \eta \frac{\partial}{\partial \eta}(\Psi+\Phi) .
\end{equation}


\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.32\linewidth]{picture/0103-1.svg}
	\caption{电子在最后散射截面时的运动产生了一个额外的温度各向异性。}
\end{figure}



到目前为止，我们忽略了最后散射截面时电子的运动。
考虑到这一点，在最后散射时，跟电子共动的观察者，他接收到的的光子能量会有一个额外的多普勒频移\textnote{见图5.5}。
\begin{equation}
	\left.\frac{\delta T}{\bar{T}}\right|_0 \subset\left(\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v}_e\right)_* .
\end{equation}
把所有的东西放在一起，我们得到了如下重要结果
\begin{equation}
	\frac{\delta T}{\bar{T}}(\hat{\boldsymbol{n}})=\left(\frac{1}{4} \delta_\gamma+\Psi+\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v}_e\right)_*+\int_{\eta_*}^{\eta_0} \mathrm{~d} \eta\left(\Psi^{\prime}+\Phi^{\prime}\right) .
\end{equation}
让我们总结一下对总温度各向异性有关的各种贡献：
\begin{itemize}
\item 
$\frac{1}{4} \delta_\gamma$这一项，可以认为是在最后散射截面背景上的固有温度变化。

\item 
$\Psi$这一项，来自于最后散射时爬出势阱的引力红移。
而组合$\frac{1}{4} \delta_\gamma+\Psi$通常被称为Sachs--Wolfe项。


\item 
多普勒项$\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{v}_e$，描述了最后一次散射时离开向观察者运动的电子所产生的蓝移。


\item 
最后，Sachs--Wolfe项的积分，描述了势能沿着视线变化所产生的引力红移效果。



\end{itemize}
图$5.6$说明了（5.3.67）中的每项，对CMB温度各向异性功率谱的贡献\textnote{见$  \S 5.3.4 $}。
我们看到ISW的贡献是次要的，功率谱的形状主要由 Sachs--Wolfe和多普勒的贡献决定。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.55\linewidth]{picture/0103-2.svg}
	\caption{（5.3.67）中各种项对温度各向异性功率谱的贡献。}
\end{figure}
\begin{omnipotent}{点评}
---对于绝热初始条件\textnote{即$\delta_\gamma \approx \frac{4}{3} \delta_m$}和大尺度\textnote{$\delta_m \approx-2 \Phi$}，这Sachs--Wolfe项变为
\begin{equation}
	\frac{1}{4} \delta_\gamma+\Psi=-\frac{2 \Phi}{3}+\Psi \approx \frac{1}{3} \Phi .
\end{equation}
这表明，在大尺度上，一个过密区域\textnote{$\Psi \approx \Phi<0$}看起来像是天空中的一个冷斑。
虽然势阱底部的温度比平均温度\textnote{$\-\frac{2}{3} \Phi$}更高，但光子在爬出势阱时损失的能量\textnote{$\Psi$}更多，从而形成一个冷斑\textnote{$\frac{1}{3} \Phi<0$}。
\end{omnipotent}





\section{CMB功率谱}


一幅宇宙微波背景辐射图，描述了CMB的温度作为方向函数的变化，$\delta T(\hat{\boldsymbol{n}})$。
我们感兴趣的是，在两个不同方向$\hat{\boldsymbol{n}}$和$\hat{\boldsymbol{n}}^{\prime}$上，他们温度涨落的统计相关性\textnote{见图5.7}在整个天空上的平均值。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.58\linewidth]{picture/0104.svg}
	\caption{左图：温度各向异性$\delta T(\hat{\boldsymbol{n}})$的两点相关函数。右图：在重结合时由单一平面波的不均匀性造成的温度各向异性。}
\end{figure}





如果初始条件在统计上是各向同性的，那么我们预计这些相关性仅取决于相对的方向$\hat{\boldsymbol{n}}$和$\hat{\boldsymbol{n}}^{\prime}$。
在这种情况下，我们可以将两点关联函数写成
\begin{equation}
	\left\langle\delta T(\hat{\boldsymbol{n}}) \delta T\left(\hat{\boldsymbol{n}}^{\prime}\right)\right\rangle=\sum\limits_l \frac{2 l+1}{4 \pi} C_l P_l(\cos \theta),
\end{equation}
其中，$\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}^{\prime} \equiv \cos \theta$，$P_l$是勒让德多项式。
展开系数$C_l$是角功率谱\textnote{参见图5.8}。如果涨落是高斯的，那么功率谱就包含了CMB图的所有信息。
\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includesvg[width=0.64\linewidth]{picture/0105.svg}
	\caption{从温度图到角功率谱。与功率谱模拟（右上）相对应的原始温度波动图（左上）可以进行频带滤波，以说明三种特征状态下的功率谱：大范围状态、大部分功率所在的第一声峰值和波动消散的阻尼尾部。}
\end{figure}




图$5.7$中的右则部分，阐明了由单一平面波的不均匀性所产生的温度变化。
天空中观测到的CMB的各向异性，是许多这样的平面波的加权叠加，其中振幅经由原初曲率扰动谱$\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)$进行加权。
在第6章中，我们将证明，原初扰动的初始条件正如预期的那样是没有啥特色的，$\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)=\text{常量}$。
CMB各向异性谱中观察到的特征，来自于$\S 5.2$中讨论的\textnote{参见图5.3}光子密度扰动和引力势在亚视界的演化。
这些声波在重结合时被捕获，并投影到了天空上。
因此，在CMB功率谱中观察到的振荡是原初声波的快照，
当光子最后一次散射离开电子时，处于不同演化阶段的原初声波被捕获。
CMB波动中漂亮的物理学在D.Baumann的《Advanced Cosmology》中有更详细地描述。




